Il mondo delle formule di Freestetter: L’importo più semplice del mondo
Difficilmente esiste un’aritmetica più semplice di 1+1. Oppure 1-1. Ma se entrambi si uniscono e viene coinvolto anche l’infinito, la questione può diventare non solo insolubile ma anche molto confusa.
© djedzura / Getty Images / iStock (dettaglio)
È molto semplice calcolare l’importo totale. Ma l’infinito mette i bastoni tra le ruote.
Luigi Guido Grandi era un monaco, teologo e filosofo italiano interessato anche alla matematica. Nel Settecento lavorò a questa serie, tra le altre:
La parte destra della formula è volutamente vuota perché non è facile trovare una soluzione. Anche se a prima vista non sembra così: Grande ha semplicemente aggiunto e sottratto alternativamente il numero 1. Si scrive la somma di 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1… Inizi con 1 e ne sottrai 1. Poi viene aggiunto nuovamente 1 e sottratto nuovamente. E così via, così puoi farti l’idea che la somma deve essere zero. Puoi spiegarlo matematicamente inserendo le parentesi: (1-1)+(1-1)+(1-1)+…. Ma puoi anche posizionare le parentesi in modo diverso, cioè come segue: 1+(- 1 ) +1)+ (-1+1)+… Ciò indica che la somma è uguale a 1.
Pertanto, Grande stesso assegnò un valore pari a ½ alla somma e vide nella serie la prova che Dio è stato in grado di creare il mondo dal nulla. Se si ignora questa discutibile relazione tra religione e matematica, si rimane nella posizione paradossale secondo cui il valore di una somma sembra dipendere dall’ordine in cui la si valuta. Puoi anche dedurre matematicamente il valore di grande ½. Per fare ciò, in primo luogo denotare il valore sconosciuto della somma come SQuindi scrivi S = 1-1+1-1+… Il risultato è -1S = 1-(1-1+1-1+…) = 1-1+1-1+… = S O S=½.
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Semplici addizioni e sottrazioni del numero 1 oscurano il vero problema. Contrasto Serie Grande. Ciò significa che la sequenza (infinita) delle somme parziali non si avvicina ad alcun limite, e quindi non è possibile assegnarle alcuna somma.
Come si calcola la fine di una serie divergente?
Per poter analizzare queste serie disparate furono sviluppati nel tempo diversi metodi con cui si potevano collocare le idee di Grandi e dei suoi contemporanei su una precisa base matematica. Ad esempio, nel XIX secolo, l’italiano Ernesto Cesaro sviluppò quello che oggi viene chiamato il set Cesaro dopo di lui. Per fare ciò, devi prima creare le somme parziali della stringa, nel grande esempio della sequenza (1,0,1,0,…). Utilizzando queste somme parziali, ora puoi creare la prima media aritmetica N Importi parziali. A N=1 è 1, l N=2 è la media ½ (lì 1+0⁄2=½), l N=3 Ottieni la media 1+0+1⁄3=⅔ ecc. Questa successione converge al limite ½. Se questo limite esiste si chiama somma di Cesaro.
Metodi simili a quello di Cesaro sono certamente utili in matematica. Sebbene la serie di Grandi abbia le sue origini nelle idee di un teologo italiano, appare in una vasta gamma di campi. Può essere trovato nell’analisi di Fourier così come nella topologia. Si possono trovare anche in molti problemi di fisica delle particelle, ad esempio nei campi quantistici con autovalori positivi e negativi.
Ma nonostante gli attuali metodi rigorosi per trattare matematicamente tali serie, rimane un po’ di disagio. Sono solo alcuni: come potrebbe diventare un problema? Nel corso della storia grandi matematici come Leibniz ed Eulero se ne sono occupati e hanno dibattuto su come interpretare le serie. Noi esseri umani semplicemente non siamo stati creati per l’infinito, anche se sembra un’innocua sequenza dell’infinito.
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